В предыдущих разделах мы использовали годовую постоянную ренту для объяснения использования в практике финансовых расчетов понятия наращенной и современной стоимости ренты. При решении реальных финансовых задач часто встречаются более сложные ситуации, когда рентные платежи поступают несколько раз в год или, наоборот, один раз в несколько лет. Для учета этого фактора вводится параметр р, указывающий, сколько раз в течение года поступают равные рентные платежи. Общий объем перечисленных в течение года средств обозначается через R.

В этом случае величина рентного платежа будет равна R/p.

С другой стороны, процентные начисления также могут производиться чаще одного раза в год. Для учета периода начисления процентов в течение года в расчетах используется параметр т. Начисление процентов происходит:

• при m = 2 – раз в полгода;
• m = 4 – ежеквартально;
• m = 12 – ежемесячно.

Выведем формулы для расчета наращенной и современной стоимости ренты, для которой

Пусть рента выплачивается p раз в год равными суммами, процент начисляется m раз в течение года. Если годовая сумма платежей равна R, то каждый раз выплачивается R/p.

Наращенную стоимость рентных платежей можно представить в виде ряда

R/p, [R/p]*(1+i/m)^m*[1/p], [R/p]*(1+i/m)^m*[2/p], … , , [R/p]*(1+i/m)^{m*[(n*p-1)/p]}

тогда основание степенного ряда

а = (1+i/m)^m/p

Используя зависимость (3.2), получаем формулу для расчета наращенной стоимости ренты постнумерандо:

S = R/p*[((1+i/m)^m*n-1)/ ((1+i/m)^m/p-1)]    (3.8)

Используя соображения, изложенные в разд. 3.3, находим формулу для расчета современной стоимости ренты постнумерандо:

A = R/p*[(1 - (1+i/m)^-m*n)/ ((1+i/m)^m/p-1)]  (3.9)

Случай из жизни. Елене и Евгению по 23 года, они – молодая супружеская пара, живут вместе с родителями Евгения, но хотят накопить на первоначальный взнос по ипотеке. Их совокупный доход составляет 60 000 руб. в месяц после налогообложения, и им нужно накопить не менее 30% стоимости квартиры. Они решили, что готовы копить не более пяти лет и хотят купить как минимум небольшую двухкомнатную квартиру, которая стоит на текущий момент около 5 млн руб. Через пять лет при инфляции 10% ее стоимость составит 8 млн руб., т. е. Елене и Евгению нужно через пять лет накопить 2,4 млн руб.

Елена предлагает ежемесячно откладывать средства на депозит на год с автоматической пролонгацией, под 12% годовых, проценты начисляются в конце месяца. Таким образом, речь идет о ренте постнумерандо. В этом случае

2400000 = R/12*[(1.01⁶⁰ – 1)/(1.01-1)],

R/12 = 29387 руб. в месяц,

что для Елены и Евгения возможно, но все же сложно.