Статья на тему «Наращенная стоимость ренты». Сумма всех платежей с начисленными на них к концу срока процентами называется наращенной стоимостью ренты и обозначается через S.
Рассмотрим задачу из реальной жизни.
Случай из жизни. Клиент банка планирует в момент выхода на пенсию купить коттедж стоимостью S тыс. руб. Для получения требуемой суммы он открывает в банке долгосрочный депозит и в соответствии с договором обязуется на протяжении п лет ежегодно перечислять фиксированную сумму R. Банк ежегодно в конце года начисляет i% на текущую сумму вклада. Начисленные проценты присоединяются к общей сумме вклада (т. е. мы имеем дело со сложным процентом). В задаче требуется определить размер платежа R, который необходимо вносить на счет для накопления суммы S. Предположим, мы имеем дело с рентой постнумерандо (первый платеж клиент совершает через год после открытия депозита).
Для решения задачи необходимо определить величину S как сумму всех поступивших платежей и начисленных процентов. Для этого рассмотрим каждый платеж R и определим его вклад в величину наращенной стоимости ренты.

Рис. 3. Рента постнумерандо
Исходя из рис. 3 на последний платеж R проценты не начисляются.
Наращенная сумма для платежа, поступающего за год до момента выплаты наращенной суммы ренты S по схеме сложного процента, составит R(1+i)1.
Наращенная сумма для платежа, поступающего за два года до момента выплаты наращенной суммы ренты S по схеме сложного процента, составит R(1+i)2 и т. д.
Для первого платежа ренты наращенная сумма составит R(1+i)n-1. Возведение основания в степень (n - 1) означает, что платеж был внесен через год после начала ренты, т. е. за (n - 1) лет до ее окончания.
Запишем полученные значения
R, R*(1 + i), R*(1 + i)2, … , R*(1 + i)n-1.
Отданная последовательность представляет собой геометрическую прогрессию (степенной ряд) с основанием 1 + i и первым членом R.
Наращенная сумма ренты S равна сумме членов данного ряда
S = R + R* (1 + i) + R *(1 + i)2+ ... + R *(1 + i)n-2 + R (1 + i)n-1 = R*Sn-1l=0(1 + i)l
Из математики известно, что сумма элементов степенного ряда равна
Sr-1t=0 at = (ar – 1)/(a-1) (3,2)
где
a – основание степенного ряда;
r – число элементов ряда.
Используя формулу (3.2), находим наращенную сумму годовой ренты постнумерандо
S = R* [((1 + i)n-1)/ ((1 + i)-1)] = R* [((1 + i)n-1)/ i)] (3.3)
Обозначая ai,n = (1 + i)n-1)/ i, получаем упрощенный вариант формулы (3.3)
S = R ai,n, (3.4)
где ai,n – множитель наращения ренты.
Для решения сформулированной выше задачи выражаем R через Известные величины
R = S/ ai,n (3.5)
Случай из жизни. Дмитрий планирует через 10 лет выйти на пенсию и переехать в регион с более благоприятным климатом. Стоимость покупки жилья в этом регионе 2 млн руб. Ежегодно по итогам работы за год Дмитрию выплачивают бонус в объеме 150 000 руб. Достаточно ли этих средств, чтобы за 10 лет накопить 2 млн руб.?
Вариант 1: накопление средств дома. 10 лет * 0,15 млн руб. = 1,5 млн руб.
Вариант 2: открытие сберегательного счета в банке под 12% годовых с начислением средств на текущий остаток, с капитализацией процентов. Используя формулу (3.3), рассчитываем сумму на счете в банке через 10 лет = 2,39 млн руб.
Таким образом, вариант 2 позволяет накопить необходимую для приобретения через 10 лет недвижимости сумму средств.
Сумма всех платежей с начисленными на них к концу срока процентами называется наращенной стоимостью ренты и обозначается через S.
Рассмотрим задачу из реальной жизни.
Случай из жизни. Клиент банка планирует в момент выхода на пенсию купить коттедж стоимостью S тыс. руб. Для получения требуемой...
S,S,R,i,%,R,S,S,R,R,S,R(1+i,),S,R(1+i,),R(1+i,), ,(n - 1),(n - 1),R, ,R,*(1 + ,i,), , ,R,*(1 + ,i,), , ,… ,R,*(1 + ,i,1 + i , ,R,S,S = R + R*, (1 + i) + ,R,R, R,R*,S,,S,a,r,S, ,=, ,R,*, ,[(,(1 + ,i,),-1)/, ,(,(1 + ,i,),-1)], = ,R,*, ,[(,(1 + ,i,),-1)/, ,i,)],Случай из жизни ,Вариант 1 ,Вариант 2 , суммы, ренты, платеж, |