Сумма всех платежей с начисленными на них к концу срока процентами называется наращенной стоимостью ренты и обозначается через S.

Рассмотрим задачу из реальной жизни.

Случай из жизни. Клиент банка планирует в момент выхода на пенсию купить коттедж стоимостью S тыс. руб. Для получения требуемой суммы он открывает в банке долгосрочный депозит и в соответствии с договором обязуется на протяжении п лет ежегодно перечислять фиксированную сумму R. Банк ежегодно в конце года начисляет i% на текущую сумму вклада. Начисленные проценты присоединяются к общей сумме вклада (т. е. мы имеем дело со сложным процентом). В задаче требуется определить размер платежа R, который необходимо вносить на счет для накопления суммы S. Предположим, мы имеем дело с рентой постнумерандо (первый платеж клиент совершает через год после открытия депозита).

Для решения задачи необходимо определить величину S как сумму всех поступивших платежей и начисленных процентов. Для этого рассмотрим каждый платеж R и определим его вклад в величину наращенной стоимости ренты.

Рис. 3. Рента постнумерандо

Исходя из рис. 3 на последний платеж R проценты не начисляются.

Наращенная сумма для платежа, поступающего за год до момента выплаты наращенной суммы ренты S по схеме сложного процента, составит R(1+i)¹.

Наращенная сумма для платежа, поступающего за два года до момента выплаты наращенной суммы ренты S по схеме сложного процента, составит R(1+i)² и т. д.

Для первого платежа ренты наращенная сумма составит R(1+i)^n-1. Возведение основания в степень (n - 1) означает, что платеж был внесен через год после начала ренты, т. е. за (n - 1) лет до ее окончания.

Запишем полученные значения

R, R*(1 + i), R*(1 + i)², … , R*(1 + i)^n-1.

Отданная последовательность представляет собой геометрическую прогрессию (степенной ряд) с основанием 1 + i и первым членом R.

Наращенная сумма ренты S равна сумме членов данного ряда

S = R + R* (1 + i) + R *(1 + i)²+ ... + R *(1 + i)^n-2 + R (1 + i)^n-1 = R*S^n-1_l=0(1 + i)^l

Из математики известно, что сумма элементов степенного ряда равна

S^r-1_t=0 a^t = (a^r – 1)/(a-1)  (3,2)

где

a – основание степенного ряда;

r – число элементов ряда.

Используя формулу (3.2), находим наращенную сумму годовой ренты постнумерандо

S = R* [((1 + i)ⁿ-1)/ ((1 + i)-1)] = R* [((1 + i)ⁿ-1)/ i)]   (3.3)

Обозначая a_i,n = (1 + i)ⁿ-1)/ i, получаем упрощенный вариант формулы (3.3)

S = R a_i,n,   (3.4)

где a_i,n – множитель наращения ренты.

Для решения сформулированной выше задачи выражаем R через Известные величины

R = S/ a_i,n   (3.5)

Случай из жизни. Дмитрий планирует через 10 лет выйти на пенсию и переехать в регион с более благоприятным климатом. Стоимость покупки жилья в этом регионе 2 млн руб. Ежегодно по итогам работы за год Дмитрию выплачивают бонус в объеме 150 000 руб. Достаточно ли этих средств, чтобы за 10 лет накопить 2 млн руб.?

Вариант 1: накопление средств дома. 10 лет * 0,15 млн руб. =  1,5 млн руб.

Вариант 2: открытие сберегательного счета в банке под 12% годовых с начислением средств на текущий остаток, с капитализацией процентов. Используя формулу (3.3), рассчитываем сумму на счете в банке через 10 лет = 2,39 млн руб.

Таким образом, вариант 2 позволяет накопить необходимую для приобретения через 10 лет недвижимости сумму средств.